상수 계수를 갖는 2계 동차 선형 상미방의 해

여기에서는 함수 y(x)에 대한 상수 계수를 갖는 2계 동차 선형 상미방(상미분방정식)을 고려한다.

(1)

이 식에서 a와 b는 상수이다. 이 상미방의 해는 다음과 같은 지수함수의 형태를 갖는다.

(2)

이 해에서 미지의 상수 k를 구하기 위해서 식 (1)에 대입하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

지수함수는 절대 0이 되지 못하므로 이 등식이 만족되려면 다음과 같은 2차 대수방정식을 만족해야 한다.

(3)

이것을 상미방 (1)의 특성 방정식(characteristic equation)혹은 보조 방정식(auxiliary equation)이라고 한다. 이 방정식을 풀어서 k를 구한다면 미분방정식 (1)의 해를 구할 수 있다.

 이차 방정식의 근의 공식에 의하면 (3)의 근은 다음과 같이 구할 수 있다.

이렇게 구한 해를 (2)에 대입하면 다음의 두 함수가 (1)의 두 해가 된다.

 특성 방정식 (3)의 판별식 가 양수인가, 0인가, 음수인가에 따라서 다음과 같은 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

1. 서로 다른 두 실근을 갖는 경우

 가장 간단한 경우로서 서로 다른 두 실근을 갖는 경우이다. 이 경우 일반해를 다음과 같이 정할 수 있다.

(4)

여기서 c1과 c2는 임의의 상수이다.

2. 중근을 갖는 경우

 만약 특성방정식 (3)이 중근 을 갖는다면 이 중근을 이용해서 하나의 기저함수를 다음과 같이 구할 수 있다.

(5)

이것과 선형 독립은 또다른 기저함수는 x를 곱하면 된다.

(6)

이 함수가 상미방 (1)의 해가 된다는 것은 대입해 보면 쉽게 증명할 수 있다.(직접 증명해 보기 바란다.) 일반해는 이 두 함수의 선형 결합이다.

(7)

여기서 c1과 c2는 임의의 상수이다.

3. 허근을 갖는 경우

 만약 특성방정식 (3)이 허근을 갖는 경우 실수부를 σ, 허수부를 ω라고 표기하면 두 근은 다음과 같다.

이 경우도 서로 다른 수이므로 일단 (4)와 같이 근을 결정할 수 있다. 즉,

(8)

이다. 여기서 오일러(Euler) 공식을 이용하면 (8)을 다음과 같이 다시 기술할 수 있다.

이제 상수를 다음과 같이 새로 정의하면

일반해는 다음과 같이 기술된다.

(9)

여기서 A와 B는 임의의 상수이다.

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